Одной командой
Array.from(new Set(Array.from(document.all).map(i => i.id).filter(i => i != ""))).sort()
Пример для тренировки
Специально сделаю элементы с одинаковыми идентификаторами:
<p id="a">Как</p> <p id="b">получить</p> <p id="e">все</p> <p id="c">значения</p> <p id="g">идентификаторов</p> <p id="h">всех</p> <p id="d">HTML</p> <p id="a">элементов</p> <p id="f">на</p> <p id="a">странице</p> <p id="h g">при</p> <p id="h">помощи</p> <p id="e">JavaScript</p> <p id="b">?</p>

Пошаговая инструкция — Логика работы
Для начала нужно получить все элементы документа.
document.all

Потом нужно преобразовать HTML-коллекцию элементов в массив. Используем метод from() конструктора Array.
Array.from(document.all)

Теперь проходим по массиву методом map() и возвращаем новый массив с извлечёнными идентификаторами ID.
Array.from(document.all).map(i => i.id)


Идентификаторы не классы, поэтому значения будут иметь одно слово. Это удобно — можно сразу разложить на элементы массива.
Теперь нам нужно отфильтровать результаты в которых нет идентификаторов. Используем метод filter().
Array.from(document.all).map(i => i.id).filter(i => i != "")

Среди идентификаторов могут быть дубли, поэтому нам нужно создать массив с уникальными значениями. Для этого используем конструктор Set.
new Set(Array.from(document.all).map(i => i.id).filter(i => i != ""))

В этом случае нам вернётся объект, поэтому мы должны передать его в метод from() конструктора Array.
Array.from(new Set(Array.from(document.all).map(i => i.id).filter(i => i != "")))

Мы получим массив с уникальными идентификаторами на HTML-странице.
Теперь можно отсортировать элементы массива, чтобы удобнее было работать с идентификаторами. Используем метод sort()
Array.from(new Set(Array.from(document.all).map(i => i.id).filter(i => i != ""))).sort()

На выходе мы получаем отсортированный массив по возрастанию элементов в порядке алфавита.
Как вывести список этих идентификаторов на страницу?
Склеиваем все элементы массива в одну строку с разделителем <br> при помощи метода join()
Array.from(new Set(Array.from(document.all).map(i => i.id).filter(i => i != ""))).sort().join("<br>")

Выводим строку на текущую страницу. Используем метод write()
document.write(Array.from(new Set(Array.from(document.all).map(i => i.id).filter(i => i != ""))).sort().join("<br>"))
