Есть HTML-разметка:
<body> <h1>Как добавить класс для HTML-элемента?</h1> </body>
Мы хотим для заголовка h1 назначить класс со значением "big".
Класс в HTML является атрибутом элемента, поэтому мы воcпользуемся DOM интерфейсом Element и его методом setAttribute(qualifiedName, value)
Шаг № 1 - Получение элемента h1
Предположим, что у нас "правильный" сайт и заголовок H1 встречается на странице всего 1 раз. Создадим переменную elh1, в которой будем хранить наш заголовок H1. Получим этот элемент <h1>:
var elh1 = document.getElementsByTagName("h1")[0]

Шаг № 2 - Присваивание класса со значением для элемента h1
elh1.setAttribute("class","big")
На элементе H1 мы вызываем метод setAttribute() и передаём в него 2 параметра - имя атрибута и значение атрибута

Готово!
Информационные ссылки
Стандарт DOM - Раздел "Interface Element" - https://dom.spec.whatwg.org/#interface-element
Стандарт DOM - Раздел "The setAttribute(qualifiedName, value) method" - https://dom.spec.whatwg.org/#dom-element-setattribute